СОР И СОЧ Алгебра и начала анализа 10 класс (общественно-гуманитарное направление)

Сборник заданий формативного оценивания
по предмету «Алгебра и начала анализа»
10 класс
(общественно-гуманитарное направление)
Нур-Султан, 2019
2
Уважаемый учитель!
Коллективная работа учителей позволила разработать настоящий сборник заданий в
качестве обучающего пособия в помощь учителю в рамках внедрения обновленного
содержания образования. Задания с критериями оценивания и дескрипторами являются
образцами, которые помогут предоставлять обучающимся конструктивную обратную связь
по достижению целей обучения, подбирать и разрабатывать аналогичные задания,
планировать уроки и проводить формативное оценивание.
Рекомендательный характер сборника предоставляет возможность Вам
адаптировать, дополнять и вносить изменения в задания с учетом возможностей и
потребностей обучающихся.
Дополнительные материалы (руководства, презентации, планы и др.), возможность
обсуждения на форумах и видеоинструкции Вы можете найти на официальном сайте АОО
«Назарбаев Интеллектуальные школы» smk.edu.kz.
Плодотворной работы и творческих успехов!
Сборник предназначен для учителей основной школы, методистов, региональных и
школьных координаторов по критериальному оцениванию и других заинтересованных лиц.
При подготовке сборника использованы ресурсы (рисунки, тексты, видео- и
аудиоматериалы и др.), находящиеся в открытом доступе на официальных интернет-сайтах. Сборник разработан в некоммерческих целях.
3
Содержание
1 четверть ...................................................................................................................................... 4
Раздел «Функция, ее свойства и график» ................................................................................ 4
Раздел «Тригонометрические функции» ............................................................................... 10
2 четверть .................................................................................................................................... 15
Раздел «Тригонометрические уравнения и неравенства» .................................................... 15
Раздел «Вероятность» .............................................................................................................. 20
3 четверть .................................................................................................................................... 22
Раздел «Производная» ............................................................................................................. 22
Раздел «Применение производной» ....................................................................................... 30
4 четверть .................................................................................................................................... 35
Раздел «Случайные величины и их числовые характеристики» ......................................... 35
4
1 четверть
Раздел «Функция, ее свойства и график»
Цель обучения 10.3.1.1 Знать определение и способы задания функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет функциональную зависимость
 Составляет функцию по условию задачи
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Среди зависимостей, предложенных ниже, найдите функциональные:
A) Зависимость площади квадрата от его стороны
B) Зависимость периметра квадрата от его стороны
C) Зависимость количества купленных конфет от размера сумки
D) Зависимость расстояния, пройденного за одно и тоже время от длины ног
Дескриптор: Обучающийся
- распознает функциональную зависимость.
Задание 2
Из прямоугольного листа жести размером 30

50 см по углам вырезали квадраты со
стороной x см и из полученной заготовки в форме «креста» согнули коробку прямоугольной
формы высотой, равной x см (Рис 1). Выразите объем полученной коробки как функцию от
x.
x см
x см
Рис 1.
Дескриптор: Обучающийся
- записывает формулу для нахождения объема коробки;
- выражает длину коробки;
- выражает ширину коробки;
- записывает выражение для нахождения объема полученной коробки.
5
Цель обучения 10.3.1.2 Уметь выполнять преобразования графика функции
(параллельный перенос, сжатие и растяжение)
Критерий оценивания Обучающийся
 Использует преобразование графика функции
(параллельный перенос, сжатие и растяжение) при
построении графика
 Описывает преобразования графика функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Рис.1
На рисунке 1 показан эскиз кривой y=f(x).
a) Постройте график кривой
) 2 (   x f y
.
b) Запишите точки пересечения с осью Ох.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет вид преобразования графика функции;
- выполняет построение графика, используя преобразование;
- находит точки пересечения с осью Ох.
Задание 2
Запишите цепочку преобразований для построения графика функции
2 6
2
   x x y
.
Дескриптор: Обучающийся
- выделяет полный квадрат;
- записывает последовательность преобразований для построения графика.
6
Цель обучения 10.3.1.3 Уметь определять свойства функции
10.3.1.4 Уметь описывать по заданному графику функции её
свойства:
1) область определения функции;
2) область значений функции;
3) нули функции;
4) периодичность функции;
5) промежутки монотонности функции;
6) промежутки знакопостоянства функции;
7) наибольшее и наименьшее значения функции;
8) четность, нечетность функции;
9) ограниченность функции;
10) непрерывность функции;
11) экстремумы функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет область определения, множество
значений функции и нули функции
 Определяет промежутки монотонности функции
 Находит наибольшее и наименьшее значение
функции
 Исследует функцию на четность и периодичность
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
На рисунке изображен график функции
) ( x g y 
, где
3 1    x
.
Укажите:
a) область значений функции;
b) нули функции;
c) промежутки знакопостоянства функции;
d) промежутки убывания и возрастания функции;
e) наибольшее и наименьшее значение функции
f) экстремумы функции;
Дескриптор: Обучающийся
- находит область значений функции.
- записывает нули функции;
- записывает промежутки знакопостоянства функции;
- указывает промежутки убывания функции;
- указывает промежутки возрастания функции;
- определяет наибольшее значение функции;
- определяет наименьшее значение функции;
- находит экстремумы функции.
7
Задание 2
Укажите, какие из предложенных графиков будут являться графиками четных или нечетных
функций:
______________________ ______________________
______________________ ______________________
Дескриптор: Обучающийся
- выбирает графики четных функций;
- выбирает графики нечетных функций.
Задание 3
Используя определение, исследуйте на четность и нечетность следующие функции:
a)
6 3 2 ) (
2 4
   x x x f
b)
x x x f 7 8 ) (
3
 
c)
5 4 ) (
4
   x x x f
Дескриптор: Обучающийся
- находит значение функции в точке (-х);
- определяет четность или нечетность функций.
8
Цель обучения 10.3.1.5 Знать определение обратной функции и уметь
находить функцию, обратную заданной и знать
свойство расположения графиков взаимно
обратных функций
10.3.1.6 Уметь распознавать сложную функцию f(g(x)) и
составлять композицию функций
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит обратную функцию
 Составляет композицию функций
 Использует свойства графиков взаимно обратных
функций
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Функции f и g определены следующим образом:
R x x x f    , 2 1 ) (
3
, 0 , 4
3
) (    x
x
x g R x 
a) Найдите
1 
f
(х).
b) Покажите, что композиция функций
3
3
2 1
1 8
x
x
f g


 
.
Дескриптор: Обучающийся
- выражает одну переменную через другую;
- находит обратную функцию;
- подставляет значение аргумента;
- составляет композицию двух функций.
Задание 2
Функция f определена следующим образом
3 ,
3
1
3 2
) 1 ( 2
) (
2



 

 x
x x x
x
x f
a) Покажите, что
3 ,
1
1
) ( 

 x
x
x f
.
b) Найдите область определения
1 
f
(х).
c) Найдите область значений
1 
f
(х).
d) Решите уравнение
8
1
) (   x g f
.
Дескриптор: Обучающийся
- преобразовывает выражение f(x);
- выражает одну переменную через другую;
- определяет обратную функцию;
- определяет область определения
1 
f
;
- записывает область значения функции
1 
f
;
- составляет композицию двух функций;
- определяет корни уравнения.
9
Задание 3
Постройте график обратной функции для данной функции:
Дескриптор: Обучающийся
- использует свойство расположения графиков взаимно-обратных функций;
- строит график обратной функции.
10
Раздел «Тригонометрические функции»
Цель обучения 10.1.3.1 Знать определения, свойства тригонометрических
функций и уметь строить их графики
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет свойства тригонометрических функций
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Определите, какие из представленных ниже утверждений описывают график функции
x y sin 
/
x y cos 
или оба графика одновременно. Поставьте в соответствующих
столбцах.
Утверждение
График
x y sin 
График
x y cos 
Пересекается с осью Ox в точке
2
3 
Возрастает на интервале






2
; 0

Область значения
1 1    y
Пересекается с осью Oy в точке 0
Возрастает на интервале
    2 ;
Пересекается с осью Ox в точке
2

Период равен
 2
Пересекается с осью Ox в точке

Дескриптор: Обучающийся
- сопоставляет указанные точки пресечения с осью абсцисс;
- сопоставляет промежутки возрастания;
- сопоставляет область значения функции;
- сопоставляет период функции.
Задание 2
a) Для графика функции
tgx y 
. Заполните пробелы в следующих предложениях.
На интервале
   2 ; 0
, функция пересекается с осью Ox в точках
___________________, и имеет асимптоты в количестве _______________.
b) Какие из следующих утверждений будут соответствовать ниже представленному
графику функции
) 2 ( 5 , 0 x tg y 
.
11
А. Асимптота
2
3 
 x
. B. Пересекает ось Oy в
2

.
C. Период равен
4

. D. Пересекает ось Ox в 0.
E. Пересекает ось Oy в 0. F. Асимптота
4
7
 x
.
G. Область значения
0  y
H. Пересекает ось Ox в
4
5 
.
K. Период равен
2

L. Область значения
0  y
.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет точки пресечения графика функции
tgx y 
с осью абсцисс
на заданном интервале;
- определяет асимптоты графика функции
tgx y 
на заданном интервале;
- определяет период заданной функции;
- определяет область значения графика функции
tgx y 
на заданном
интервале.
12
Цель обучения 10.1.3.2 Уметь строить графики тригонометрических
функций с помощью преобразований
Критерий оценивания Обучающийся
 Выполняет преобразования графиков
тригонометрических функций
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Выберите функции, графики которых могут быть получены отражением графика функции
x x f cos ) ( 
по оси Ox и сжатием его по вертикали.
A.
x x h cos 8 ) (  
B.
) 2 , 0 cos( ) ( x x k 
C.
x x m cos 7 , 0 ) (  
D.
) 6 cos( ) ( x x n  
E.
x x p cos 9 , 0 ) (  
F.
) 5 , 0 cos( ) ( x x q  
G.
x x r cos 4 , 0 ) ( 
H.
) 1 , 0 cos( ) ( x x s  
I.
x x h cos 3 ) (  
Постройте их в одной системе координат.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет функции, графики которых могут быть получены отражен
x x f cos ) ( 
по оси Ox и сжатием его по вертикали;
- строит данные графики.
Задание 2
Найдите амплитуду, период в радианах, вертикальный сдвиг, минимальное и максимальное
значение. Постройте график.






 
6
5
sin 3

 y  cos 5 , 0  y
Дескриптор: Обучающийся
- определяет амплитуду функции;
- определяет период функции;
- находит вертикальный сдвиг,
- находит минимальное и максимальное значения;
- использует график функции y=sinx;
- выполняет смещение относительно оси абсцисс;
- выполняет растяжение/сжатие вдоль оси ординат;
- строит и обозначает график функции;
- использует график функции y=cosx.
13
Цель обучения 10.1.3.3 Знать определения арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса и уметь
находить их значения
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит значения арксинуса и арккосинуса
 Находит значения арктангенса и арккотангенса
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Заполните пропуски, используя определение тригонометрических функций. Вычислите
угол

. Ответ округлите до трех значащих цифр.
  sin arcsin  
________  
  сos arccos  
_______  
  tg arctg  
_______  
Примечание: возможно использование калькулятора и/или таблицы Брадиса
Дескриптор: Обучающийся
- использует определение тригонометрических функций;
- находит значение арксинуса;
- находит значение арккосинуса;
- находит значение арктангенса.
Задание 2
Вычислите:
a)







3
3
arcctg
; b)







2
2
arccos
; c)
0 arcsin
.
Дескриптор: Обучающийся
- вычисляет значение арккотангенса;
- вычисляет значение арккосинуса;
- вычисляет значение арксинуса.
14
Цель обучения 10.1.3.4 Находить значения выражений, содержащих
обратные тригонометрические функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Выполняет преобразования выражений,
содержащих обратные тригонометрические
функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Вычислите:
a)












2
cos

arctg
; b)












4
3
sin arcsin

; c)













3
sin arccos

.
Дескриптор: Обучающийся:
- находит значения косинуса/синуса;
- находит значение арктангенса;
- находит значение арксинуса;
- находит значение арккосинуса.
Задание 2
Найдите значение выражения:
1)
 






 






 






 3
2
3
arcsin
2
3
arccos
12
arctg

;
2)
 
2
2
arccos 1
2
3
arcsin 2   






 arctg
.
Дескриптор: Обучающийся
- использует определение и свойства обратных тригонометрических
функций;
- находит значения обратных тригонометрических функций;
- выполняет преобразования;
- находит значение выражения.
15
2 четверть
Раздел «Тригонометрические уравнения и неравенства»
Цель обучения 10.1.3.5 Уметь решать простейшие тригонометрические
уравнения
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит решение простейших тригонометрических
уравнений, содержащих синус и косинус
 Находит решение простейших тригонометрических
уравнений, содержащих тангенс и котангенс
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Установите истинность или ложность утверждений.
Утверждение Истина Ложь
a tgx 
,
n arctga x  2   0 cos  x
,
n x 

 
2
1   ctgx
,
n x 

 
4
3
a x  sin
,
n a x  2 arcsin    1 sin  x
, x=
n  a x  cos
,
n a x  2 arccos   
Дескриптор: Обучающийся
- определяет решение тригонометрического уравнения, содержащего
тангенс;
- определяет решение тригонометрического уравнения, содержащего
косинус;
- определяет решение тригонометрического уравнения, содержащего
котангенс;
- определяет решение тригонометрического уравнения, содержащего
синус.
Задание 2
Решите уравнение:
a)
0 1
2 6
sin   






x 
; b)
0 2 3   x tg
.
Дескриптор: Обучающийся
- использует формулу нахождения корней уравнения, содержащего синус;
- записывает общее решение уравнения;
- использует формулу нахождения корней уравнения, содержащего тангенс;
- находит общее решение уравнения.
16
Цель обучения 10.1.3.6 Уметь решать тригонометрические уравнения
методом разложения на множители
10.1.3.7 Уметь решать тригонометрические уравнения,
приводимые к квадратному уравнению
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает тригонометрические уравнения с помощью
разложения на множители
 Решает тригонометрические уравнения,
приводимые к квадратному уравнению
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Решите уравнение:
0 cos 2 sin
2
1
  x x
.
Дескриптор: Обучающийся
- использует формулу синуса двойного угла;
- выносит общий множитель за скобки;
- составляет совокупность двух тригонометрических уравнений;
- использует формулу нахождения корней синуcа;
- использует формулу нахождения корней косинуса;
- находит общее решения уравнения.
Задание 2
a) Решите уравнение:
. cos 3
2
3
sin 2
2
x x  







b) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку






  

2 ;
2
7
.
Дескриптор: Обучающийся
- использует формулу приведения;
- выносит общий множитель за скобки;
- составляет совокупность двух тригонометрических уравнений;
- использует формулу нахождения корней синуcа;
- использует формулу нахождения корней косинуса;
- находит общее решения уравнения;
- находит корни, принадлежащие промежутку.
Задание 3
Решите уравнение:
0 2 cos 5 sin 6
2
   x x
.
Дескриптор: Обучающийся
- использует основное тригонометрическое тождество;
- получает квадратное уравнение относительно косинуса;
- вводит новую переменную;
- определяет корни квадратного уравнения;
- использует формулу нахождения корней косинуса;
- находит общее решения уравнения.
17
Цель обучения 10.1.3.8 Уметь решать однородные тригонометрические
уравнения
Критерий оценивания Обучающийся
 Использует метод решения однородных
тригонометрических уравнений
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Решите уравнение:
а)
0 cos 3 sin   x x
b)
0 cos cos sin 4 sin 3
2 2
   x x x x
Дескриптор: Обучающийся
- делит обе части уравнения на
x cos
/sin x
- использует формулу нахождения корней тангенса /котангенса;
- находит общее решения уравнения.
- делит обе части уравнения на
x
2
cos
(или
x
2
sin
);
- получает квадратное уравнение относительно тангенса/ котангенса;
- вводит новую переменную;
- определяет корни квадратного уравнения;
- использует формулу нахождения корней тангенса/котангенса;
- находит общее решения уравнения.
18
Цель обучения 10.1.3.9 Уметь решать простейшие тригонометрические
неравенства
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит решение простейших
тригонометрических неравенств
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Определите простейшие тригонометрические неравенства, решение которых изображено
на рисунках.
__________________________
__________________________
__________________________
Дескриптор: Обучающийся
- определяет неравенство, содержащее синус;
- определяет неравенство, содержащее косинус;
- определяет неравенство, содержащее котангенс.
19
Задание 2
Решите неравенство:
1
4
 







x tg
.
Дескриптор: Обучающийся
- вводит новую переменную, заменяя аргумент;
- изображает решение на тригонометрической окружности;
- определяет множество решений неравенства;
- записывает решение исходного неравенства.
20
Раздел «Вероятность»
Цель обучения 10.2.1.1 Знать понятие случайного события, виды
случайных событий и приводить их примеры
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет вид события
 Применяет правило умножения вероятностей
при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Определите, какие пары событий несовместны.
a) наугад выбранное натуральное число от 1 до 100 делится на 9;делится на 13;
b) выигрыш в лотерею по первому билету; по второму билету;
c) наугад выбранное натуральное число от 1 до 100 делится на 3; делится на 4;
d) выигрыш и проигрыш в шахматной партии.
Дескриптор:Обучающийся
- использует определение несовместных событий;
-указывает пары несовместных событий.
Задание 2
Событие A состоит в том, что все из 10 изготовленных деталей стандартные. Что
означает событие
А
?
Дескриптор: Обучающийся
- указывает вид события.
21
Цель обучения 10.2.1.2 Вычислять вероятность случайных событий,
применяя свойства вероятностей
10.2.1.3 Понимать и применять правила сложения и
умножения вероятностей
* P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B);
* P(A + B) = P(A) + P(B);
* P(A +B) = P(A)+P(B)–P(A ∙ B);
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет свойства вероятности случайных
событий
 Применяет правило умножения вероятностей
при решении задач
 Применяет правило сложения вероятностей при
решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных
деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной
детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.
Дескриптор: Обучающийся
- находит вероятность каждого события;
- использует правило умножения вероятностей;
- находит вероятность
Задание 2
Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: 4 с первого, 5 со
второго, 7 с третьего и 4 с четвертого склада. Случайным образом выбран ящик для
продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.
Дескриптор: Обучающийся
- находит вероятность каждого события;
- использует правило сложения вероятностей;
- находит вероятность события.
Задание 3
Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого
стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что только один стрелок
попадёт в мишень.
Дескриптор: Обучающийся
- использует правило умножения вероятностей;
- использует правило сложения вероятностей;
- находит вероятность.
22
3 четверть
Раздел «Производная»
Цель обучения 10.3.1.7 Знать определение предела функции в точке и на
бесконечности
Критерий оценивания Обучающийся
 Вычисляет пределы функции на бесконечности
 Вычисляет пределы функции в точке
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Вычислите пределы функции:
a)
1 2 4
2 3 8
lim
3
2 3
 
 
 
х х
х х x
x
; b)
 
х х х
х
x
3 2
1
lim
2 3
3
 

 
.
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет преобразования;
- раскрывает неопределенность вида
;


- находит значение предела.
Задание 2
Вычислите пределы функции.
a)
2
2
lim
2



x
x
x
; b)
6
2 3
lim
2
2 3
2
 
 
 
y y
y y y
y
; c)
1 1
lim
0
 

x
x
x
.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет вид неопределенности;
- раскладывает числитель и знаменатель на множители;
- использует сопряженное;
- выполняет сокращение;
- находит значение предела.
23
Цель обучения 10.3.1.8 Знать определение непрерывной функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет непрерывность функции;
 Изображает эскиз графика непрерывной функции.
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Задание 1
Какие из функций, графики которых приведены на рис.1-6, непрерывны в точке
2  x
?
Дескриптор: Обучающийся
- указывает графики функций, на которых функция непрерывна в заданной
точке.
24
Задание 3
Дана функция:







  
 
  
    
   

2 1 , 2 2
1 , 2
1 0 , 1
0 1 , 1 2
1 2 , 1
) (
2
x если x
x если
x если x
x если x
x если
x g
Ответьте на следующие вопросы:
a) Определена ли функция в точке х=1?
b) Будет ли выполняться следующее равенство
) 1 ( ) ( lim
1
g x g
x


?
c) Определена ли функция
) ( x g
в точке х=-1?
Дескриптор: Обучающийся
- записывает выражения для определения значения функции в заданной
точке;
- находит односторонние пределы;
- сравнивает значения односторонних пределов;
- записывает выражения для определения значения функции в заданной
точке.
25
Цель обучения 10.3.1.9 Знать определение производной функции и
находить производную функции по определению
Критерий оценивания Обучающийся
 Использует определение производной функции
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Задание 1
Найдите производную функции
x y 
, используя определение производной.
Дескриптор: Обучающийся:
-записывает предел отношения приращения функции к приращению
аргумента;
- выполняет преобразование полученного выражения;
- записывает производную для функции
x y 
.
26
Цель обучения 10.3.1.10 Находить производные постоянной функции и
степенной функции
10.3.1.11 Знать и применять правила дифференцирования
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит производную степенной функции
 Применяет правила дифференцирования для
нахождения производной
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите производные следующих функций.
a)
) 2 (
2 3 2
x x x y  
; b)
2
2 5
5 2
) (
t
t t
t h
 

.
Дескриптор: Обучающийся
- применяет правило нахождения производной произведения;
- применяет правило нахождения производной частного;
- находит производную степенной функции;
- находит производную функции.
Задание 2
Дана функция
 
0 ,
4 3
) (
2


 x г де
x
x
x f
.
a) Покажите, что
B Ax x x f   

2
1
2
1
9 ) (
, где A и B- рациональные числа.
b) Найдите
) (
'
x f
.
Дескриптор: Обучающийся
- записывает дробь в требуемом виде;
- использует правило дифференцирования;
- находит производную функции.
27
Цель обучения 10.3.2.1 Знать геометрический смысл производной
10.3.3.2 Решать задачи с использованием геометрического
смысла производной
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет тангенс угла наклона касательной
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции
) ( x f y 
в точке графика с
абсциссой
0
x
:
1 2
3
   x x y
,
1
0
  x
.
Дескриптор: Обучающийся
-записывает выражение для нахождения тангенса угла наклона касательной;
- находит производную заданной функции;
- вычисляет значение тангенса в точке графика с заданной абсциссой.
Задание 2
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
) ( x f y 
в точке графика с
абсциссой
0
x
:
2 , 3
0
3
    x x x y
.
Дескриптор: Обучающийся
- находит производную заданной функции;
- вычисляет значение углового коэффициента в точке графика с заданной
абсциссой.
28
Цель обучения 10.3.2.2 Знать физический смысл производной
10.3.3.1 Решать прикладные задачи, опираясь на физический
смысл производной
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает задачи, используя физический смысл
производной
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Закон движения материальной точки по прямой имеет вид
2 3
4
16 4
4
t t
t
x   
. Определите,
в какие моменты времени мгновенная скорость точки положительна.
Дескриптор: Обучающийся
- находит производную функции;
- составляет неравенство, используя физический смысл производной;
- находит интервалы моментов времени, в которых скорость положительна.
Задание 2
Материальная точка движется прямолинейно по закону
 
3 2
6
1
4 t t t t s   
, где s(t) – путь в
метрах, t – время в секундах. Найдите мгновенную скорость, действующую на точку в
момент t = 2 с.
Дескриптор: Обучающийся
-применяет физический смысл производной функции;
-находит мгновенную скорость в момент времени.
29
Цель обучения 10.3.1.12 Составлять уравнение касательной к графику
функции в заданной точке
Критерий оценивания Обучающийся
 Составляет уравнение касательной к графику
функции в заданной точке
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Напишите уравнение касательной к графику функции
2
3 ) ( x x x f  
в точке с абсциссой
2
0
 x
.
Дескриптор: Обучающийся
- находит значение функции в точке;
- находит значение производной в точке;
- использует формулу уравнения касательной;
- записывает уравнение касательной.
Задание 2
Кривая задана уравнением
5
2 3
    x x kx y
, где k – это постоянная. Точка А с абсциссой
х=
2
1

принадлежит данной кривой. Касательная к кривой, проходящая через точку А,
параллельна прямой
0 1 7 2    x y
. Найдите:
a) значение k;
b) ординату точки А.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет угловой коэффициент параллельной прямой;
- находит производную функции;
- приравнивает угловые коэффициенты;
- вычисляет значение k;
- определяет вторую координату.
30
Раздел «Применение производной»
Цель обучения 10.3.1.14 Знать определение сложной функции и находить
её производную
10.3.1.13 Находить производные тригонометрических
функций
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит производную тригонометрической функции
 Находит производную сложной функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите производную функции:
a)
) 2 1 cos( x y  
;
b)
) 2 1 ( 2 x y  
;
c)
 
3
3 1 x y  
.
Дескриптор: Обучающийся
- использует формулу производную сложной функции;
- находит производную косинуса;
-находит производную рациональной функции;
- находит производную корня n-ой степени;
-находит производную степенной функции;
-находит производную рациональной функции;
- находит производную функции.
31
Цель обучения 10.3.1.15 Знать и применять необходимое и достаточное
условие возрастания (убывания) функции на
интервале
Критерий оценивания Обучающийся
 Использует условие возрастания (убывания)
функции и находит промежутки монотонности
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите интервалы монотонности функции
2
1
) (


x
x f
.
Дескриптор: Обучающийся:
- применяет правило нахождения производной частного;
-находит производную функции;
-решает неравенство для определения промежутков
возрастания/промежутков убывания;
- находит промежутки возрастания и убывания функции.
Задание 2
Определите, на каком промежутке функция
x x x f sin 5 , 0 ) (  
возрастает.
Дескриптор: Обучающийся
- находит производную функции;
- записывает неравенство для определения промежутков возрастания;
- находит промежутки возрастания.
32
Цель обучения 10.3.1.16 Знать определения критических точек и точек
экстремума функции, условие существования
экстремума функции
10.3.1.17 Находить критические точки и точки экстремума
функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Использует определение критических точек и точек
экстремума функции
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
На рисунке показан график функции ???? = ????(????), определенной на промежутке (-8;3). Найдите
количество точек, в которых производная функции равна нулю. Ответ поясните.
Дескриптор: Обучающийся
- использует определение критических точек функции;
- находит количество критических точек по графику функции.
Задание 2
Функция, заданная уравнением
3 2
8 10 x x x y    
, достигает своего максимального
значения в точке А. Покажите, что абсцисса точки А равна 2.
Дескриптор: Обучающийся
- находит производную функции;
- решает уравнение;
- находит критические точки;
- находит максимальное значение.
33
Цель обучения 10.3.1.18 Исследовать свойства функции с помощью
производной и строить её график
Критерий оценивания Обучающийся
 Исследует свойства функции с помощью
производной
 Строит графики функций
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание
Проведите полное исследование функции
x
x
y



1
8
2
и постройте ее график, используя
следующую схему:
1. 1.Область определения D(y) и область допустимых значений E(y) функции.
2. 2.Четность, нечетность функции.
3. 3.Точки пересечения с осями.
4. 4.Асимптоты функции.
5. 5.Экстремумы и интервалы монотонности.
6. 6.Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
7. 7.Построение графиков.
8.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет область определения и область допустимых значений
функции;
- определяет четность, нечетность функции;
- находит точки пересечения графика с осями;
- находит асимптоты функции;
- находит производную функции;
- решает уравнение;
- находит экстремумы функции;
- находит интервалы монотонности;
- находит вторую производную функции;
- определяет точки перегиба;
- находит промежутки выпуклости и вогнутости;
- строит график функции.
34
Цель обучения 10.3.1.19 Находить наибольшее и наименьшее значения
функции на отрезке
10.3.3.3 Решать прикладные задачи, связанные с
нахождением наибольшего (наименьшего)
значения функции
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает задачи на нахождение наибольшего
(наименьшего) значения функции
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
1
1
2
2
 
 
x x
x x
на отрезке
  2 ; 2 
.
Дескриптор: Обучающийся
- находит производную функции;
- решает уравнение;
- находит критические точки;
- вычисляет значения функции на концах отрезка и в критических точках;
- определяет наибольшее и наименьшее значение функции, сравнивая
значения.
Задание 2
Из куска железа в форме прямоугольного треугольника с катетами 2 м и 4 м необходимо
вырезать прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными катетам
треугольника.
Дескриптор: Обучающийся
- составляет отношение, следуя из подобия треугольников;
- составляет функцию для нахождения площади;
- находит производную функции;
-решает уравнение;
- находит экстремумы функции;
- находит максимальное значение, учитывая ограничения;
- находит необходимые размеры.
35
4 четверть
Раздел «Случайные величины и их числовые характеристики»
Цель обучения 10.2.1.4 Понимать, что такое случайная величина и
приводить примеры случайных величин
10.2.1.5 Знать определение дискретной и непрерывной
случайной величины и уметь их различать
10.2.1.6 Составлять таблицу закона распределения
некоторых дискретных случайных величин
Критерий оценивания Обучающийся
 Определяет возможные значения случайной
величины;
 Распознает дискретные и непрерывные величины
 Составляет таблицу закона распределения
дискретных случайных величин
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Задание 1
a) Сыграно три партии в шахматы. X – число выигранных шахматных партий.
Запишите, какие возможные значения может принимать случайная величина Х.
b) Подбрасывается монета. Y – выпадение одной из ее сторон (стороны монеты:
орел и решка).
Запишите возможные значения, которые может принимать случайная величина
Y.
Дескриптор: Обучающийся
- записывает возможные значения для случайной величины в задании а);
- записывает возможные значения для случайной величины в задании b).
Задание 2
Ниже представлены примеры случайных величин. Укажите, какие из них будут являться
дискретными, а какие непрерывными.
1) Сумма очков при бросании двух кубиков.
2) Расстояние точки попадания выстрела от центра мишени.
3) Количество входящих звонков на данный номер за месяц.
4) Время безотказной работы какого-нибудь прибора.
Дескриптор: Обучающийся
- указывает дискретные случайные величины;
- указывает непрерывные случайные величины.
Задание 3
В урне находится 5 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают три шара. Запишите ряд
распределения величины X – количество белых шаров в выборке.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет значения случайно величины Х;
- находит вероятность исходов;
- составляет таблицу закона распределения случайной величины.
36
Задание 4
В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 5000 тенге и
десять выигрышей по 1000 тенге. Найти вероятности случайной величины X – стоимости
возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Запишите ряд
распределения дискретной случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для
владельца одного лотерейного билета.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет значения случайной величины Х;
- находит вероятность исходов;
- составляет таблицу закона распределения случайной величины.
37
Цель обучения 10.2.1.8 Вычислять математическое ожидание дискретной
случайной величины
10.2.1.9 Вычислять дисперсию и среднее квадратическое
(стандартное) отклонение дискретной случайной
величины
Критерий оценивания Обучающийся
 Использует свойства математического ожидания
дискретной случайной величины
 Вычисляет дисперсию и стандартное отклонение
случайной величины
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Дискретная случайная величина X имеет закон распределения, представленный ниже в
таблице:
X 1 2 3
P(X) 0.8 0.6 0.2
Определите математическое ожидание.
Дескриптор: Обучающийся
- составляет выражение, используя закон распределения;
- вычисляет математическое ожидание.
Задание 2
Дискретная случайная величина X имеет закон распределения, представленный ниже в
таблице.
X 1 2 3 4 5
P(X) 0.10 p 0.20 q 0.30
a) Известно, что M(X)=3.5, напишите уравнение для нахождения p и q.
Найдите:
b) D(X).
c) M (2X).
d) Стандартное отклонение.
Дескриптор: Обучающийся
- составляет выражение, используя закон распределения;
- использует формулу математического ожидания;
- находит неизвестные;
- использует формулу для нахождения дисперсии;
- вычисляет дисперсию;
- применяет свойство математического ожидания;
- находит стандартное отклонение.
38
Задание 3
Случайная величина Х имеет распределение:
i
x
0 1 2 3 4
i
p
0,1 0,3 0,3 0,2 0,1
Найдите характеристики случайной величины.
Дескриптор: Обучающийся
- составляет выражение, используя закон распределения;
- использует формулу математического ожидания;
- вычисляет математическое ожидание;
- использует формулу дисперсии;
- вычисляет дисперсию;
- использует формулу стандартного отклонения;
- находит стандартное отклонение.
39
Цель обучения 10.2.1.10 Решать задачи с использованием числовых
характеристик дискретных случайных величин
Критерий оценивания Обучающийся
 Решает задачи на нахождение числовых
характеристик дискретной случайной величины
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает
дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найдите ряд распределения числа
светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое
ожидание и дисперсия этой случайной величины?
Дескриптор: Обучающийся
- определяет значения случайно величины Х;
- составляет ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной
до первой остановки;
- использует формулу математического ожидания;
- вычисляет математическое ожидание;
- использует формулу дисперсии;
- вычисляет дисперсию.