СОР И СОЧ Сборник заданий формативного оценивания по предмету «Геометрия» 9 класс
Сборник заданий формативного оценивания
по предмету «Геометрия»
9 класс
Нур-Султан,2019
2
Уважаемый учитель!
Коллективная работа учителей позволила разработать настоящий сборник заданий в
качестве обучающего пособия в помощь учителю в рамках внедрения обновленного
содержания образования. Задания с критериями оценивания и дескрипторами являются
образцами, которые помогут предоставлять обучающимся конструктивную обратную связь
по достижению целей обучения, подбирать и разрабатывать аналогичные задания,
планировать уроки и проводить формативное оценивание.
Рекомендательный характер сборника предоставляет возможность Вам адаптировать,
дополнять и вносить изменения в задания с учетом возможностей и потребностей
обучающихся.
Дополнительные материалы (руководства, презентации, планы и др.), возможность
обсуждения на форумах и видеоинструкции Вы можете найти на официальном сайте АОО
«Назарбаев Интеллектуальные школы» smk.edu.kz.
Плодотворной работы и творческих успехов!
Сборник предназначен для учителей основной школы, методистов, региональных и
школьных координаторов по критериальному оцениванию и других заинтересованных лиц.
При подготовке сборника использованы ресурсы (рисунки, тексты, видео- и
аудиоматериалы и др.), находящиеся в открытом доступе на официальных интернет- сайтах.
Сборник разработан в некоммерческих целях.
3
Содержание
1 четверть .......................................................................................................................................... 4
Раздел: Векторы на плоскости ...................................................................................................... 4
2 четверть ........................................................................................................................................ 13
Раздел: Преобразования плоскости ............................................................................................ 13
3 четверть ........................................................................................................................................ 24
Раздел: Решение треугольников ................................................................................................. 24
4 четверть ........................................................................................................................................ 29
Раздел: Окружность. Многоугольники ...................................................................................... 29
4
1 четверть
Раздел: Векторы на плоскости
Цель обучения 9.1.4.1 Знать определения вектора, коллинеарных векторов,
равных векторов, нулевого вектора, единичного вектора
и длины вектора
Критерий оценивания Обучающийся
Определяет вектор, виды векторов
Находит длину вектора.
Уровень мыслительных
навыков
Знание, понимание
Применение
Задание
Асет, Бауыржан и Диас сели на станции метро на две электрички в противоположных
направлениях, причем Асет и Диас едут вместе. Скорость электричек при разгоне 45 км/ч.
Пусть местоположение мальчиков относительно места посадки через 4 сек соответствует
концам векторов ???? ⃗⃗⃗ (Асет), ????
⃗ (Бауржан) и ???? (Диас) соответственно. Изобразите схематически
движение мальчиков с помощью этих векторов и заполните таблицу, используя
соответствующие обозначения и символику.
Коллинеарные векторы
Противоположно направленные векторы
Сонаправленные векторы
Равные векторы
Каким вектором выражается местоположение Асета
относительно своего места в вагоне?
Каким вектором выражается местоположение Баурыжана
относительно места посадки через 0,08 сек (длина вектора
в метрах)?
Какова длина вектора ????
(через 4 сек)?
Дескриптор: Обучающийся
- изображает векторы;
- записывает коллинеарные векторы;
- записывает противоположно направленные векторы;
- записывает сонаправленные векторы;
- записывает равные векторы;
- определяет нулевой вектор;
- вычисляет расстояние;
- определяет единичный вектор.
5
Цель обучения 9.1.4.3 Применять условие коллинеарности векторов
9.1.4.4 Раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет условие коллинеарности векторов при
решении задач
Раскладывает вектор по двум неколлинеарным
векторам
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Соедините стрелками векторы из первого столбца с коллинеарными векторами из второго
столбца.
5????
-3????
⃗
1
2
???? +????
⃗
0.7???? -8????
⃗
7????
⃗ +
7
2
????
−4.2???? +48????
⃗
-3????
7???? +80????
⃗
5????
⃗
Дескриптор: Обучающийся:
- использует свойство умножения вектора на число;
- использует условие коллинеарности векторов.
Задание 2
ABCD – параллелограмм, ????????
⃗⃗⃗⃗⃗ = ???? , ???????? ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ???? ⃗ .
1) Отметьте точку K так, чтобы ????????
⃗⃗⃗⃗⃗ =−
1
3
???? ;
2) Отметьте точку М так, чтобы ????????
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
2
????
⃗ ;
3) Выразите вектор ????????
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через векторы ???? и ???? ⃗ ;
4) Выразите вектор ????????
⃗⃗⃗⃗⃗ через векторы ???? и ???? ⃗ , если точка P делит отрезок AC в
отношении 3:1, считая от точки А.
Дескриптор: Обучающийся
- использует свойство умножения вектора на число;
- использует условие коллинеарности векторов;
- использует правило треугольника для сложения векторов;
- использует правило параллелограмма для сложения векторов;
- представляет вектор как сумму или разность векторов.
6
Цель обучения 9.1.4.2 Знать и применять правила сложения векторов и
умножения вектора на число
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет правило треугольника для сложения
векторов
Применяет правило параллелограмма для сложения
векторов
Применяет правило треугольника для вычитания
векторов
Применяет правило умножения вектора на число
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Лебедь, Рак и Щука тянут воз с одинаковой силой F на одной плоскости, причем углы
между каждой парой персонажей одинаковые. Объясните, почему воз не трогается с места.
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж по условию задачи;
- использует правило параллелограмма / треугольника для сложения
векторов;
- использует свойство равнобедренного треугольника;
- находит длину вектора;
- выявляет и складывает противоположные векторы.
Задание 2
Фрегат «Алые паруса» идет по компасу строго на восток со скоростью ???? 1 , но дует
сильный южный ветер со скоростью ???? 2 , а течение сносит фрегат на юго-запад со скоростью
???? 3 . Определите реальный курс фрегата, если ???? 1 = ???? 2 = √2???? 3 . Покажите это с помощью
векторов.
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж по условию задачи;
- использует правило параллелограмма / треугольника для сложения векторов;
- определяет длину вектора;
- определяет противоположно направленные векторы;
- использует теорему о коллинеарных векторах;
- умножает вектор на число, чтобы выразить один вектор через другой;
- складывает противоположно направленные векторы.
7
Цель обучения 9.1.4.5 Знать определение угла между двумя векторами
9.1.4.6 Находить скалярное произведение векторов
Критерий оценивания Обучающийся
Вычисляет скалярное произведение векторов
Применяет свойства скалярного произведения векторов
Вычисляет длину вектора и угол между векторами
используя скалярное произведение векторов
Уровень мыслительных
навыков
Знание, понимание
Применение
Задание 1
В ромбе ABCD угол ABC равен 60°, а сторона BC равна 5 см. Заполните таблицу.
Векторы Угол между векторами Скалярное произведение
векторов
????????
⃗⃗⃗⃗⃗ и ???????? ⃗⃗⃗⃗⃗
????????
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и ???????? ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
????????
⃗⃗⃗⃗⃗ и ???????? ⃗⃗⃗⃗⃗
????????
⃗⃗⃗⃗⃗ и ???????? ⃗⃗⃗⃗⃗
????????
⃗⃗⃗⃗⃗ и ???????? ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
????????
⃗⃗⃗⃗⃗ и ???????? ⃗⃗⃗⃗⃗
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж;
- использует свойства ромба;
- использует параллельный перенос для определения угла между векторами;
- использует свойство скалярного произведения;
- вычисляет скалярное произведение векторов.
Задание 2
Известно, что ???? ,????
⃗ – единичные векторы, а угол между ними 60°.
Пусть ???? ⃗⃗ = 2???? + ????
⃗ и ????⃗ = ???? ⃗ −
4
5
???? .
1|???? ⃗⃗ | и |????⃗ |.
2) Найдите ∠(???? ⃗⃗ ;????⃗ ).
Дескриптор: Обучающийся
- использует свойства скалярного произведения векторов;
- использует формулу сокращенного умножения;
- вычисляет скалярное произведение векторов;
- вычисляет косинус угла, используя скалярное произведение векторов;
- определяет угол по значению косинуса.
8
Цель обучения 9.1.4.7 Решать задачи векторным методом
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет скалярное произведение векторов при
решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Дескриптор: Обучающийся
- представляет вектор одной диагонали как сумму двух неколлинеарных
векторов;
- представляет вектор второй диагонали как разность тех же векторов;
- находит скалярное произведение векторов диагоналей;
- применяет свойства скалярного произведения векторов.
Задание 2
Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм.
Дескриптор: Обучающийся
- раскладывает вектор по двум неколлинеарным векторам;
- использует коллинеарность векторов;
- определяет равные векторы;
- использует признак параллелограмма.
9
Цель обучения 9.1.3.1 Находить координаты вектора
9.1.3.2 Находить длину вектора
Критерий оценивания Обучающийся
Вычисляет координаты вектора
Вычисляет длину вектора через координаты
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание
Турист, гуляя в окрестностях Кольсайских озер, оказался в пункте A, координата которого на
карте соответствует точке (-3; -2). Ближайшие гостевые дома, где он мог бы остановиться на
ночлег, соответствуют на карте точкам B(-2;2), C(5;3), D(3;-4).
1) Найдите координаты векторов ????????
⃗⃗⃗⃗⃗ , ???????? ⃗⃗⃗⃗⃗ и ???????? ⃗⃗⃗⃗⃗ .
2) Вычислив длины этих векторов, определите, какой гостевой дом находится ближе
остальных.
3) В точке с какими координатами должен оказаться турист, чтобы расстояния до всех
трех гостевых домов были бы одинаковыми?
Дескриптор: Обучающийся
- вычисляет координаты вектора;
- вычисляет длину вектора;
- использует формулу длины вектора для составления уравнения;
- решает систему уравнений с двумя переменными.
10
Цель обучения 9.1.3.3 Выполнять действия над векторами в координатах
Критерий оценивания Обучающийся
Выполняет действия над векторами в координатах
Применяет условие коллинеарности векторов в
координатах
Раскладывает вектор по двум неколлинеарным
векторам
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Известно, что ???? (−7;5),????
⃗ (−6;−8).
1) Найдите координаты вектора ???? = −2???? + 5????
⃗ .
2) При каких значениях k вектор ????
(???? + 1;4???? + 0,5) будет коллинеарен ???? ?
Дескриптор: Обучающийся
- умножает вектор на число в координатах;
- складывает векторы в координатах;
- использует условие коллинеарности векторов в координатах для составления
уравнения;
- решает уравнение.
Задание 2
Найдите единичный вектор ???? ⃗⃗⃗ , сонаправленный с вектором ???? (−5;12).
Дескриптор: Обучающийся
- использует условие коллинеарности векторов для выражения координат
вектора;
- использует длину вектора для составления уравнения;
- решает уравнение;
- использует сонаправленность векторов для определения координат.
Задание 3
Даны векторы ???? ⃗⃗ (3;−8),????⃗ ( 1
2
;
3
2 ) и ????
⃗ (−1;1). Разложите вектор ???? ⃗ по векторам ????
⃗⃗⃗⃗ и ????⃗ .
Дескриптор: Обучающийся
- использует разложение вектора по двум неколлинеарным векторам для
составления систем уравнений с двумя переменными;
- решает систему уравнений с двумя переменными;
- записывает разложение.
11
Цель обучения 9.1.3.4 Знать и применять скалярное произведение векторов и
его свойства
9.1.3.5 Вычислять угол между векторами
Критерий оценивания Обучающийся
Находит скалярное произведение векторов в координатах
Применяет скалярное произведение векторов и их
свойства при решении задач
Вычисляет угол между векторами, используя скалярное
произведение векторов
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
При каких значениях ???? векторы ???? (???? − 2;4) и ????
⃗ (3 + ????;????) взаимно перпендикулярны?
Дескриптор: Обучающийся
- записывает скалярное произведение векторов в координатах;
- решает квадратное уравнение;
- находит значения переменной.
Задание 2
Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (-1;4), В(3;2), С(1;-3). Найдите острый
угол между медианой CF и стороной AC.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет координаты середины отрезка;
- определяет координаты векторов;
- вычисляет скалярное произведение векторов;
- вычисляет модули векторов;
- использует формулу скалярного произведения для выражения косинуса угла
между двумя векторами;
- определяет угол по значению косинуса.
12
Цель обучения 9.1.4.19 Применять векторы к решению задач
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет координаты вектора при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание
Военный вертолет вылетел из точки L (5; -1). Долетев до точки М(2;2), летчик получил приказ
лететь в точку К(-3;2). Используя скалярное произведение векторов, определите на сколько
градусов вертолет отклонился от первоначального курса.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет координаты векторов;
- вычисляет скалярное произведение векторов;
- вычисляет модули векторов;
- использует формулу скалярного произведения для выражения косинуса угла
между двумя векторами;
- определяет угол по значению косинуса.
13
2 четверть
Раздел: Преобразования плоскости
Цель обучения 9.1.4.8 Знать виды, композиции движений и их свойства
Критерий оценивания Обучающийся
Распознает виды движений и их композиции
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Задание 1
Определите преобразование или композицию преобразований, с помощью которых фигура Ф
отображается в фигуру Ф′:
Задание 2
Даны элементы казахского орнамента.
a) Определите виды преобразования плоскости, использованные в них.
b) Покажите на рисунке все параметры, задающие данное преобразование:
-центр симметрии;
- ось симметрии;
- центр и угол поворота;
- вектор параллельного переноса.
_________________________ _________________________
_________________________ _________________________
Дескриптор: Обучающийся
- определяет вид преобразования в каждом случае;
- показывает на рисунках:
центр симметрии;
ось симметрии;
центр и угол поворота;
вектор параллельного переноса.
14
Цель обучения 9.1.4.9 Строить образы фигур при симметриях, параллельном
переносе, повороте
Критерий оценивания Обучающийся
Строит образы фигур при осевой и центральной
симметрии
Строит образы фигур при параллельном переносе
Строит образы фигур при повороте
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Последовательно соединяя точки (-4; -5), (-4; -4), (-3; -4), (-2;-3) и (-2;-5) на координатной
плоскости, постройте пятиугольник Ф 1.
a) Постройте фигуру Ф 2 , полученную из Ф 1 с помощью параллельного переноса на
вектор ???? (−1;1).
b) Постройте фигуру Ф 3 , полученную из Ф 2 с помощью симметрии относительно
прямой ???? = −???? − 1.
c) Постройте фигуру Ф 4 , полученную из Ф 3 с помощью симметрии относительно точки
(1;1).
d) Постройте фигуру Ф 5 , полученную из Ф 4 с помощью поворота вокруг точки (3;-2)
против часовой стрелки на 90°.
Дескриптор: Обучающийся
- строит пятиугольник Ф 1 в координатной плоскости;
- строит фигуру Ф 2, используя параллельный перенос, на заданный вектор;
- строит фигуру Ф 3 , используя симметрию относительно прямой;
- строит фигуру Ф 4 , используя симметрию относительно точки;
- строит фигуру Ф 5 , используя поворот.
Задание 2
Дана фигура Ф. Постройте образы Ф 1, Ф 2, Ф 3 и Ф 4 , если:
a) Ф→ Ф 1 – параллельный перенос на вектор ????
⃗ ;
b 2 - симметрия относительно прямой h;
c 3 - симметрия относительно точки Q;
d) Ф→ Ф 4 - поворот вокруг точки Z по часовой стрелке на 120°.
15
Дескриптор: Обучающийся
- строит образ фигуры Ф→ Ф 1 при параллельном переносе на вектор ????
⃗ ;
2 , применяя симметрию относительно прямой h;
3, применяя симметрию относительно точки Q;
- строит образ фигуры Ф→ Ф 4 при повороте вокруг точки Z по часовой
стрелке на 120°.
16
Цель обучения 9.1.4.10 Решать задачи с применением преобразований
плоскости
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет преобразование поворота при решении задач
Применяет параллельный перенос при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Дана окружность ???? 2 − 10???? + ???? 2 + 2???? + 17 = 0. Напишите уравнение образа этой окружности
при:
a) повороте на 90° вокруг начала координат против часовой стрелки;
b) симметрии относительно оси Oy;
c) симметрии относительно начала координат.
Дескриптор: Обучающийся
- записывает уравнение окружности в общем виде;
- определяет координаты центра окружности при повороте;
- определяет координаты центра окружности при симметрии относительно
прямой;
- определяет координаты центра окружности при симметрии относительно
точки;
- записывает уравнение образа окружности.
Задание 2
Треугольник МКР отображается в треугольник М'К'Р' с помощью параллельного переноса.
Известно, что К (-3;5), Р(-5;1), М'(-3;-2), Р'(-1;-3). Определите координаты остальных вершин
треугольников.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет координаты вектора параллельного переноса;
- находит координаты вершины К';
- находит координаты вершины М.
17
Цель обучения 9.1.4.11 Знать определение и свойства гомотетии
Критерий оценивания Обучающийся
Определяет гомотетию
Применяет свойства гомотетии при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание
Фигура JMLK перешла в фигуру J 1 M 1 L 1 K 1 . Опишите это преобразование, если J 1 (-2; -3),
M 1 (1;3), L 1 (4;-3), K 1 (1;0).
Дескриптор: Обучающийся
- строит фигуру по заданным координатам;
- определяет вид преобразования;
- определяет центр гомотетии;
- определяет коэффициент гомотетии.
18
Цель обучения 9.1.4.12 Строить образы различных фигур при гомотетии
Критерий оценивания Обучающийся
Строит образы различных фигур при гомотетии
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание
Постройте фигуру, гомотетичную данной с центром в точке О и коэффициентом k.
1) 2) 3)
4) 5) 6)
1) О (-4; 4), k=2
2) О (2; -1), k=-2
3) О (-4; -1), k=1/3
4) О (1; 2), k=-1,5
5) О (0; 0), k=-1/2
6) О (-4; -4), k=1,5
Дескриптор: Обучающийся
> k< 0;
|k |> 1;
- строит фигуру, гомотетичную данной при | k | < 1.
19
Цель обучения 9.1.4.13 Знать определение и свойства подобных фигур
Критерий оценивания Обучающийся
Определяет подобные фигуры
Применяет свойства подобных фигур при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Фигура Ф 1 отображается в фигуру Ф 2 . Определите это преобразование и его параметры по
рисунку.
Ф 1______________________________________________ Ф 2_____________________________________________________
Дескриптор: Обучающийся:
- определяет вид преобразования;
- находит его параметры по рисунку.
Задание 2
Мастер изготовил два подобных сундука в виде прямоугольного параллелепипеда. Длина,
ширина и высота первого сундука 1 м, 60 см и 70 см соответственно. Какова высота второго
сундука, если периметр его основания равен 4,8 м?
Дескриптор: Обучающийся
- переводит величины в одни единицы измерения;
- вычисляет периметр прямоугольника;
- определяет коэффициент подобия;
- находит высоту.
Задание 3
Стороны треугольника равны 2,5 см, 4 см и 5 см. Найдите периметр треугольника, подобного
данному, если его наименьшая сторона равна наибольшей стороне данного треугольника.
Дескриптор: Обучающийся
- определяет коэффициент подобия;
- вычисляет стороны подобного треугольника;
- вычисляет периметр подобного треугольника.
20
Цель обучения 9.1.4.14 Знать и применять признаки подобия треугольников
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет признаки подобия треугольников при
решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Является ли треугольник со сторонами 10 и 15 подобным другому треугольнику со
сторонами 3 и 2? Обоснуйте свой ответ.
Дескриптор: Обучающийся:
- определяет подобны ли треугольники;
- поясняет ответ, используя признаки подобия.
Задание 2
Сквер имеет форму равнобедренной трапеции. По диагоналям этой трапеции проходят
прогулочные аллеи, на пересечении которых находится фонтан. На каком расстоянии
находится фонтан от концов аллеи, если ее длина 1500 м, а длины параллельных границ
сквера 900 м и 1350 м?
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж;
- применяет признак подобия треугольников;
- определяет коэффициент подобия;
- вводит переменную;
- составляет уравнение/систему уравнений;
- решает уравнение/систему уравнений;
- вычисляет расстояния.
21
Цель обучения 9.1.4.15 Знать и применять подобие прямоугольных
треугольников
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет признаки подобия прямоугольных
треугольников при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание
В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90°) проведена высота CD. BD = 18, AD = 32.
Найдите CD.
Дескриптор: Обучающийся:
- доказывает подобие прямоугольных треугольников;
- составляет пропорцию и решает уравнение;
- находит высоту.
22
Цель обучения 9.1.4.16 Знать и применять свойство биссектрисы треугольника
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет свойство биссектрисы треугольника при
решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание
В равнобедренном треугольнике с основанием 20√3 и боковой стороной 20, проведена
биссектриса угла при основании. Определите длины отрезков, на которые она разбивает
боковую сторону.
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж;
- использует свойство биссектрисы треугольника;
- составляет пропорцию и решает уравнение;
- находит отрезки.
23
Цель обучения 9.1.4.17 Знать формулу зависимости между площадями
подобных фигур и коэффициентом подобия
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет формулу зависимости между площадями
подобных фигур и коэффициентом подобия при
решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание
BK и BH – высоты параллелограмма ABCD, опущенные из вершины тупого угла на стороны
AD и CD соответственно. Известно, что S ABK =6 см 2 , S BHC = 13,5 см 2 . Найдите сторону AB, если
BC=7,5 см.
Дескриптор: Обучающийся
- доказывает подобие прямоугольных треугольников;
- применяет теорему об отношении площадей подобных треугольников
- вычисляет коэффициент подобия;
- находит сторону параллелограмма.
24
3 четверть
Раздел: Решение треугольников
Цель обучения 9.1.3.7 Знать и применять теорему синусов
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет теорему синусов при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Найдите x и y, если ∠???????????? = 105°, ∠???????????? = 150°
Дескриптор: Обучающийся
- находит неизвестный угол треугольника;
- применяет теорему синусов;
- решает составленные пропорции;
- находит неизвестные стороны.
Задание 2
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен R, а два угла треугольника равны α
и . Найдите площадь треугольника.
Дескриптор: Обучающийся
- использует следствие теоремы синусов;
- выражает длины сторон треугольника через радиус описанной окружности и
противолежащие углы;
- находит третий угол треугольника;
- вычисляет площадь треугольника.
25
Цель обучения 9.1.3.6 Знать и применять теорему косинусов
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет теорему косинусов при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
На карте, масштаб которой 1:2 000 000, расстояние между пунктами А и В равно 5√3 см, а
расстояние между пунктами А и С равно 5 см. Найдите расстояние между пунктами В и С на
местности, если на карте АСВ = 120°.
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж;
- составляет уравнение, используя теорему косинусов;
- решает квадратное уравнение;
- составляет пропорцию, используя определение масштаба;
- находит расстояние на карте;
- переводит в более крупные единицы измерения;
- находит расстояние на местности.
Задание 2
Две стороны треугольника равны 4 и 8. Какое наименьшее целое значение должна иметь
длина третьей стороны, чтобы угол между двумя данными сторонами был тупым?
Дескриптор: Обучающийся
- составляет неравенство, сравнивая квадрат большей стороны и сумму
квадратов двух других;
- находит значения длины третьей стороны.
26
Цель обучения 9.1.3.8 Знать и применять формулы площади вписанного
треугольника (???? =
????????????
4????
,где ????,????,???? −
стороны треугольника, ???? −
радиус описанной окружности ), площади описанного
многоугольника
(???? = ????????, где ???? − радиус вписанной окружности, ???? −
полупериметр многоугольника)
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет формулу площади описанного
многоугольника при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Периметр описанного около окружности многоугольника равен 6 дм, а его площадь 4,8 дм 2 .
Найдите радиус окружности.
Дескриптор: Обучающийся
- использует формулу площади описанного многоугольника;
- находит полупериметр;
- вычисляет радиус.
Задание 2
Площадь треугольника ABC равна 32 cм 2 . Найдите периметр треугольника ABC, если радиус
вписанной окружности равен 4 см.
Дескриптор: Обучающийся
-применяет формулу радиуса окружности, вписанной в треугольник;
-находит периметр треугольника.
27
Цель обучения 9.1.3.9 Знать и применять формулы для нахождения радиуса
окружности, используя площади вписанных и
описанных треугольников
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет формулы для нахождения радиуса
окружности, описанной около треугольника
Применяет формулы для нахождения радиуса
окружности, вписанной в треугольник
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Фермеру требуется построить водонапорную башню так, чтобы она была равноудалена от
трех животноводческих ферм, расстояния между которыми 4 км, 5 км и 7 км. Определите
расстояние от башни до каждой фермы.
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж;
- использует формулу для нахождения радиуса окружности, описанной около
треугольника;
- использует формулу Герона;
- находит расстояние.
Задание 2
Основание подарочной коробки имеет форму равнобедренного треугольника со сторонами 13
дм, 13 дм и 10 дм. Поместятся ли в данную упаковку часы в виде круга с диаметром 6 дм
(высотой пренебречь)?
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж;
- использует формулу для нахождения радиуса окружности, вписанной в
треугольник;
- использует формулу Герона;
- находит радиус круга и сопоставляет с условием задачи.
28
Цель обучения 9.1.3.10 Применять теоремы синусов и косинусов для решения
треугольников и прикладных задач
Критерий оценивания Обучающийся
применяет теоремы синусов и косинусов для решения
треугольников и прикладных задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Треугольник АВС вписан в окружность радиуса R. Найдите радиус R и величину A , если
АВ = 2, ВС = √7 и АС = 3.
Дескриптор: Обучающийся
- использует теорему косинусов;
- находит косинус угла;
- определяет угол;
- использует теорему синусов
- находит радиус окружности.
Задание 2
Стороны треугольника 4, 5 и 17 . Найдите высоту, опущенную на большую сторону.
Дескриптор: Обучающийся
- использует теорему косинусов;
- находит косинус угла;
- находит синус этого угла;
- находит катет в прямоугольном треугольнике.
Задание 3
Первый автомобиль, двигаясь по трассе, свернул с нее на второстепенную дорогу и
продолжил движение со скоростью 140 км/ч. В это же время по проселочной дороге
наперерез ему выехал второй автомобиль со скоростью 80 км/ч. Успеет ли второй автомобиль
встретить первый автомобиль на перекрестке?
Дескриптор: Обучающийся
- использует теорему синусов;
- находит стороны треугольника (расстояния);
- находит время движения каждой машины;
- сопоставляет и делает вывод.
29
4 четверть
Раздел: Окружность. Многоугольники
Цель обучения 9.1.1.1 Выводить и применять формулу длины дуги
9.1.1.2 Выводить и применять формулу площади сектора,
сегмента
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет формулу длины дуги при решении задач
Применяет формулу площади сектора, сегмента
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Навыки высокого порядка
Задание 1
АВ – диаметр круга радиуса 5. Найдите периметр и площадь закрашенной части.
Дескриптор: Обучающийся
- находит центральный угол;
- использует формулу длины дуги;
- вычисляет длину хорды;
- находит периметр;
- использует формулу площади сектора;
- вычисляет площадь треугольника;
- находит площадь сегмента.
Задание 2
Длина дуги АВ равна 3 . Найдите:
a) значение угла x;
b) площадь закрашенной части.
Дескриптор: Обучающийся
- использует формулу длины дуги;
- находит центральный угол;
- использует формулу площади сектора;
- вычисляет площадь треугольника;
30
- находит площадь сегмента.
Задание 3
Лужайка с клевером имеет форму правильного треугольника со стороной 6 м. В середине
одной из сторон этого треугольника вбили колышек и привязали к нему козу. Длина привязи
3 м. Найдите площадь клевера, не съеденную козой.
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж;
- находит центральный угол;
- находит площадь сектора;
- вычисляет площади треугольников;
- находит площадь оставшейся части.
31
Цель обучения 9.1.1.3 Знать определение вписанного угла и его свойства
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет свойства вписанного угла при решении
задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Запишите свойства вписанных углов.
Чертеж Свойство
Дескриптор: Обучающийся
-записывает словесную формулировку свойств вписанных углов.
32
Цель обучения 9.1.1.4 Знать и применять теоремы о пропорциональности
отрезков в круге
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет теорему о пропорциональности отрезков
хорд при решении задач
Применяет теорему о пропорциональности отрезков
секущих при решении задач
Применяет теорему о пропорциональности отрезков
секущей и касательной при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Диагонали AC и BD вписанного в окружность четырехугольника ABCD взаимно
перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что AM = 3, BM = 4 и CM = 6.
Найдите CD.
Дескриптор: Обучающийся
- использует теорему о пропорциональности отрезков хорд;
- находит отрезок хорды;
- использует теорему Пифагора;
- вычисляет хорду.
Задание 2
Найдите радиус круга.
Дескриптор: Обучающийся
- использует теорему о пропорциональности отрезков секущих;
- вводит переменную и составляет уравнение;
- находит отрезки секущей;
33
- использует теорему Пифагора;
- вычисляет хорду;
- использует свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр;
- вычисляет диаметр;
- определяет радиус.
Задание 3
Из точки А, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая.
Расстояние от точки А до точки касания равно 16, а расстояние от точки А до одной из точек
пересечения секущей с окружностью равно 32. Постройте чертеж и найдите радиус
окружности, если расстояние от центра окружности до секущей равно 5.
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж;
- использует пропорциональность отрезков касательной и секущей;
- вычисляет отрезки секущей;
- использует свойство равнобедренного треугольника или свойство хорды;
- использует теорему Пифагора;
- вычисляет радиус.
34
Цель обучения 9.1.2.1 Знать и применять свойства и признаки вписанных и
описанных четырехугольников
Критерий оценивания Обучающийся
Определяет вписанные и описанные четырехугольники
Применяет свойства вписанных и описанных
четырехугольников при решении задач
Применяет признаки вписанных и описанных
четырехугольников при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Покажите стрелкой, с какой фигурой из второго столбца можно всегда выполнить действие
из первого столбца.
ДЕЙСТВИЕ ФИГУРА
1. Описать
окружность
2. Вписать
окружность
A. Дельтоид
B. Квадрат
C. Параллелограмм
D. Прямоугольник
E. Прямоугольная трапеция
F. Равнобедренная трапеция
G. Ромб
Дескриптор: Обучающийся
- использует признак вписанного четырехугольника;
- использует признак описанного четырехугольника.
Задание 2
Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2 ∶ 3 ∶ 4. Найдите угол D, если около
данного четырехугольника можно описать окружность.
Дескриптор: Обучающийся
- использует теорему о вписанном четырехугольнике для составления
уравнения;
- составляет и решает уравнение;
- находит углы.
35
Цель обучения 9.1.2.2 Знать определение и свойства правильных
многоугольников
9.1.2.3 Строить правильные многоугольники
Критерий оценивания Обучающийся
Определяет правильные многоугольники
Применяет свойства правильных многоугольников при
решении задач
Строит правильные многоугольники
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Задание 1
Дан правильный пятиугольник ABCDE. Найдите значение угла CAD.
Дескриптор: Обучающийся
-вычисляет сумму внутренних углов правильного многоугольника;
- находит величину внутреннего угла правильного многоугольника;
- использует свойство углов при основании равнобедренного треугольника;
- находит искомый угол.
Задание 2
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если:
aутренний угол равен 135°?
b) внешний угол равен 36°?
Дескриптор: Обучающийся
- использует формулу для вычисления внутреннего угла правильного
многоугольника;
- использует свойство суммы внешних углов выпуклого многоугольника;
- находит число сторон.
Задание 3
В круглой пластинке надо просверлить 8 одинаковых отверстий на равных друг от друга
расстояниях и равноудаленных от центра пластинки. Как это сделать?
Дескриптор: Обучающийся
- проводит два взаимно перпендикулярных диаметра;
- строит биссектрисы каждого угла;
- строит правильный восьмиугольник.
36
Цель обучения 9.1.2.4 Знать и применять связь между радиусами вписанной и
описанной окружностей правильного многоугольника
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет связь между радиусом вписанной
окружностью правильного многоугольника при решении
задач
Применяет связь между радиусом описанной
окружностью правильного многоугольника при решении
задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Радиус окружности, описанной около правильного 9-угольника, равен 2 дм. Найдите радиус
вписанной окружности.
Дескриптор: Обучающийся
- находит угол между R и r или угол между R и стороной многоугольника;
- использует отношение синуса или косинуса в прямоугольном треугольнике;
- находит радиус.
Задание 2
Найдите отношение
r
R , где R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной
окружности для правильного:
a) треугольника;
b) четырехугольника;
c) шестиугольника.
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж;
- определяет угол между R и r или угол между R и стороной многоугольника;
- находит отношение радиусов.
Задание 3
Какой размер проёма должен быть у ключа для шестигранной гайки, основания которой
имеют форму правильного шестиугольника, если ширина грани гайки равна 25 мм, а зазор
между гранями гайки и ключа — 0,5 мм?
Дескриптор: Обучающийся
- использует зависимость между стороной и радиусом вписанной
окружности;
- находит диаметр вписанной окружности;
- выполняет вычисления и находит ответ.
37
Цель обучения 9.1.2.5 Знать и применять формулы, связывающие стороны,
периметр, площадь правильного многоугольника и
радиусы вписанной и описанной окружностей
правильного многоугольника
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет формулы, связывающие стороны, периметр,
площадь правильного многоугольника и радиусы
вписанной и описанной окружностей правильного
многоугольника при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание 1
Дана окружность радиуса 12. Найдите:
a) сторону правильного описанного треугольника;
b) периметр правильного описанного пятиугольника;
c) площадь правильного вписанного шестиугольника.
Дескриптор: Обучающийся
- использует формулу радиуса вписанной окружности в правильный
многоугольник;
- вычисляет сторону и периметр;
- использует формулу радиуса описанной окружности;
- вычисляет площадь.
Задание 2
Найдите площадь закрашенной части, если сторона правильного шестиугольника равна 8 см.
Дескриптор: Обучающийся
- находит радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник;
- находит площадь правильного шестиугольника;
- находит площадь круга;
- находит площадь закрашенной части.
38
Цель обучения 9.1.2.6 Знать и применять свойства медиан треугольника
Критерий оценивания Обучающийся
Применяет свойства медиан треугольника при решении
задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Задание
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высота ВН пересекает медиану АК в
точке О. Известно, что ВН = 4 см, АВ = 5 см. Найдите:
a) площадь треугольника ВОК;
b) отрезок АО.
Дескриптор: Обучающийся
- выполняет чертеж;
- использует теорему Пифагора;
- находит площадь треугольника;
- использует свойство медианы;
- использует свойство точки пересечения медиан;
- вычисляет неизвестную часть медианы.