СОР И СОЧ Геометрия 10 класс (естественно-математическое направление)

Методические рекомендации по суммативному оцениванию
по предмету «Геометрия»
10 класс
(естественно-математическое направление)
Нур-Султан, 2019
2
Методические рекомендации составлены в помощь учителю при планировании,
организации и проведении суммативного оценивания за раздел по предмету «Геометрия» для
обучающихся 10 классов. Методические рекомендации подготовлены на основе типовой
учебной программы и учебного плана.
Задания для суммативного оценивания за раздел позволят учителю определить уровень
достижения обучающимися целей обучения, запланированных на четверть.
Для проведения суммативного оценивания за раздел в методических рекомендациях
предлагаются задания, критерии оценивания с дескрипторами и баллами. Также в сборнике
описаны возможные уровни учебных достижений, обучающихся (рубрики). Задания с
дескрипторами и баллами носят рекомендательный характер.
Методические рекомендации предназначены для учителей, администрации школ,
методистов отделов образования, школьных и региональных координаторов по
критериальному оцениванию и других заинтересованных лиц.
При подготовке методических рекомендаций использованы ресурсы (рисунки,
фотографии, тексты, видео- и аудиоматериалы и др.), находящиеся в открытом доступе на
официальных интернет-сайтах.
3
СОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАНИЯ ПО СУММАТИВНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ ЗА 1 ЧЕТВЕРТЬ ................................... 4
Суммативное оценивание за раздел «Аксиомы стереометрии. Параллельность в
пространстве» ................................................................................................................................. 4
ЗАДАНИЯ ПО СУММАТИВНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ ЗА 2 ЧЕТВЕРТЬ ................................... 8
Суммативное оценивание за раздел «Перпендикулярность в пространстве».......................... 8
ЗАДАНИЯ ПО СУММАТИВНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ ЗА 3 ЧЕТВЕРТЬ ................................. 12
Суммативное оценивание за раздел «Перпендикулярность в пространстве»........................ 12
Суммативное оценивание за раздел «Прямоугольная система координат и векторы в
пространстве» ............................................................................................................................... 15
ЗАДАНИЯ ПО СУММАТИВНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ ЗА 4 ЧЕТВЕРТЬ ................................. 19
Суммативное оценивание за раздел «Прямоугольная система координат и векторы в
пространстве» ............................................................................................................................... 19
4
ЗАДАНИЯ ПО СУММАТИВНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ ЗА 1 ЧЕТВЕРТЬ
Суммативное оценивание за раздел «Аксиомы стереометрии. Параллельность в
пространстве»
Тема Взаимное расположение прямых в пространстве
Тетраэдр, параллелепипед
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Параллельность плоскостей
Цель обучения 10.2.3 Знать свойства параллельных прямых в пространстве
и применять их при решении задач
10.2.4 Знать признак и свойства параллельности прямой и
плоскости, применять их при решении задач
10.2.5 Знать признак и свойства параллельности плоскостей,
применять их при решении задач
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет свойства параллельных прямых при
решении задач
 Применяет признаки и свойства параллельности
прямой и плоскости при решении задач
 Применяет признак и свойства параллельности
плоскостей при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Знание и понимание
Применение
Время выполнения 25 минут
Задание
1. Точка
AB C 
. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные
прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Выполните рисунок
к задаче и найдите длину отрезка СС1, если точка С — середина отрезка АВ и ВВ1=7 см.
2. Плоскость

пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках D и E
соответственно, причем АС параллельна плоскости

.
Найдите АС, если
см DE AD BD 12 , 4 : 3 :  
.
3. Даны параллельные плоскости ???? и ????. Через точки А и В плоскости ???? проведены
параллельные прямые, пересекающие плоскость ???? в точках
1
A
и
1
B
. Найдите
1 1
B A
, если
АВ = 12 см.
5
4. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые
l
и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в
точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12 см, В1О: ОВ2 = 3 : 4.
6
Критерий
оценивания
№
Дескриптор
Балл
Обучающийся
Применяет свойства
параллельных прямых
при решении задач
1
использует свойство параллельных прямых; 1
доказывает подобие треугольников; 1
составляет отношение сторон; 1
находит неизвестный отрезок; 1
Применяет признак и
свойства
параллельности
прямой и плоскости
при решении задач
2
доказывает параллельность прямых; 1
доказывает подобие треугольников; 1
составляет отношение сторон; 1
находит неизвестную сторону; 1
Применяет признак и
свойства
параллельности
плоскостей при
решении задач
3 определяет вид геометрической фигуры; 1
находит неизвестную сторону; 1
4
использует свойства параллельности плоскостей; 1
доказывает подобие треугольников; 1
составляет отношение сторон; 1
находит длину отрезка. 1
Итого: 14
7
Рубрика для предоставления информации родителям по итогам суммативного оценивания за раздел «Аксиомы стереометрии.
Параллельность в пространстве»
ФИ обучающегося ________________________________________________________________________________________________________
Критерий оценивания Уровень учебных достижений
Низкий Средний Высокий
Применяет свойства
параллельных прямых при
решении задач
Затрудняется в применении
свойств параллельных прямых
при решении задач
Допускает ошибки при применении
свойств параллельных прямых /при
вычислениях
Использует свойства
параллельных прямых при
решении задач
Применяет признаки и
свойства параллельности
прямой и плоскости при
решении задач
Затрудняется в применении
признаков и свойств
параллельности прямой и
плоскости
Допускает ошибки при применении
признаков /свойств параллельности
прямой и плоскости/при вычислениях
Применяет признаки и свойства
параллельности прямой и
плоскости
Применяет признак
параллельности плоскостей
при решении задач
Затрудняется в применении
признака параллельности
плоскостей
Допускает ошибки при применении
признака параллельности
плоскостей/при вычислениях
Использует признак
параллельности плоскостей
8
ЗАДАНИЯ ПО СУММАТИВНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ ЗА 2 ЧЕТВЕРТЬ
Суммативное оценивание за раздел «Перпендикулярность в пространстве»
Тема Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о трех
перпендикулярах.
Расстояния в пространстве
Углы в пространстве
Перпендикулярность плоскостей
Цель обучения 10.2.7 Знать определение, признак и свойства
перпендикулярности прямой и плоскости,
применять их при решении задач
10.3.1 Знать теорему о трех перпендикулярах и применять
её при решении задач
10.3.2 Знать определение угла между прямой и плоскостью,
уметь изображать и находить его величину
10.3.3 Знать определение угла между плоскостями
(двугранный угол), уметь изображать и находить его
величину
10.3.4 Знать признак и свойства перпендикулярных
плоскостей и применять их при решении задач
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет признак и свойства перпендикулярности
прямой и плоскости при решении задач
 Применяет теорему о трех перпендикулярах при
решении задач
 Находит угол между прямой и плоскостью
и угол между двумя плоскостями
 Применяет признак и свойства перпендикулярных
плоскостей при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Время выполнения 25 минут
Задание
1. Дан
AB
- перпендикуляр к плоскости

,
AC
и
AD
- наклонные, проведенные по
разные стороны от перпендикуляра.
3 , 60 , 30
0 0
     R ADB ACB
- радиус
окружности, описанной вокруг треугольника
ACD
. Найдите
AB
.
2. Через вершину прямого угла
C
в равнобедренном треугольнике
CDE
проведена
прямая
CA
, перпендикулярная к плоскости треугольника. Известно, что
35 CA дм 
,
12 2 CD дм 
. Найдите расстояние от точки
A
до прямой
DE
.
3. Дана фигура, как показано на рисунке 1. Найдите:
А) тангенс угла между прямой AG и плоскостью ABCD.
В) тангенс угла между плоскостями FJIG и EHGF.
9
Рис.1
4. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и АВС с общим основанием
перпендикулярны. AD=5 см, AВ=8 см, АСВ=60ᴼ. Найдите CD.
10
Критерий оценивания №
Дескриптор
Балл
Обучающийся
Применяет признак и
свойства
перпендикулярности
прямой и плоскости при
решении задач
1
делает вывод, что треугольник
прямоугольный;
1
применяет свойство катета, лежащего
против угла
0
30
;
1
находит длину
AC
или
AD
;
1
находит длину
AB
;
1
Применяет теорему о трех
перпендикулярах при
решении задач
2 использует теорему о трех
перпендикулярах;
1
применяет теорему о медиане
прямоугольного треугольника;
1
делает вывод о том, что треугольник
равнобедренный;
1
находит длины
DE
и
CK
;
1
находит расстояние от точки
A
до прямой
DE
;
1
Находит угол между
прямой и плоскостью
и угол между двумя
плоскостями
3
на кубе указывает угол между прямой и
плоскостью;
1
находит градусную меру искомого угла; 1
указывает в фигуре угол между двумя
плоскостями;
1
находит градусную меру искомого угла; 1
Применяет признак и
свойство
перпендикулярных
плоскостей при решении
задач
4
находит длину высоты в треугольнике
АВD;
1
находит длину высоты в треугольнике
АВС;
1
доказывает, что полученный треугольник-прямоугольный;
1
находит длину CD.
1
Итого 17
11
Рубрика для предоставления информации родителям по итогам суммативного оценивания за раздел «Перпендикулярность в
пространстве»
ФИ обучающегося ________________________________________________________________________________________________________
Критерий оценивания Уровень учебных достижений
Низкий Средний Высокий
Применяет признак и
свойства
перпендикулярности прямой
и плоскости при решении
задач
Затрудняется в применении
свойства перпендикулярности
прямой и плоскости при
решении задачи
Допускает ошибки в применении
свойств перпендикулярности прямой
и плоскости/вычислительные ошибки
Применяет свойство
перпендикулярности прямой и
плоскости при решении задач
Применяет теорему о трех
перпендикулярах при
решении задач
Затрудняется в применении
теоремы о трех
перпендикулярах при решении
задач
Допускает ошибки в применении
теоремы о трех перпендикулярах/
вычислительные ошибки
Применяет теорему о трех
перпендикулярах при решении
задач
Находит угол между прямой
и плоскостью и угол между
двумя плоскостями
Затрудняется в определении
угла между прямой и
плоскостью и угла между двумя
плоскостями
Допускает ошибки при определении
угла между прямой и плоскостью/
угла между двумя плоскостями
вычислительные ошибки
Указывает на рисунке угол
между прямой и плоскостью и
угол между двумя плоскостями ,
определяет его величину
Применяет признак и свойств
перпендикулярных
плоскостей при решении
задач
Затрудняется в применении
свойств перпендикулярности
плоскостей при решении задачи
Допускает ошибки в применении
свойств перпендикулярности
плоскостей/ вычислительные ошибки
Применяет свойств
перпендикулярности плоскостей
при решении задач
12
ЗАДАНИЯ ПО СУММАТИВНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ ЗА 3 ЧЕТВЕРТЬ
Суммативное оценивание за раздел «Перпендикулярность в пространстве»
Тема Прямоугольный параллелепипед
Ортогональная проекция плоской фигуры на плоскость и
её площадь
Цель обучения 10.3.7 Выводить свойства прямоугольного
параллелепипеда и применять их при решении
задач
10.3.6 Знать формулу площади ортогональной проекции
плоской фигуры на плоскость и применять ее при
решении задач
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет свойства прямоугольного
параллелепипеда при решении задач
 Применяет формулу площади ортогональной
проекции при решении задач
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Время выполнения 20 минут
Задания
1.В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 6, 8, 10. Найдите диагональ
параллелепипеда и угол между диагональю и плоскостью основания.
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2
и 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
3. Ортогональной проекцией треугольника, площадь которого 420 см
2
, является
треугольник со сторонами 39 см, 17 см и 28 см. Найдите угол между плоскостями.
4. Ребро куба равно 4 см. Через диагональ основания под углом в 45
0
к плоскости
основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите площадь
треугольника DLB.
13
Критерий оценивания №
Дескриптор
Балл
Обучающийся
Применяет свойства
прямоугольного
параллелепипеда при
решении задач
1
находит диагональ основания; 1
находит ребро параллелепипеда; 1
вычисляет объем параллелепипеда; 1
2
находит диагональ основания; 1
находит диагональ параллелепипеда; 1
находит угол между диагональю
параллелепипеда и плоскостью основания;
1
вычисляет площадь треугольника 1
Применяет формулу
площади ортогональной
проекции при решении
задач
3
использует формулу площади ортогональной
проекции;
1
находит угол между плоскостями; 1
4
находит площадь основания; 1
находит площадь проекции; 1
вычисляет площадь искомого треугольника. 1
Итого: 12
14
Рубрика для предоставления информации родителям по итогам суммативного оценивания за раздел «Перпендикулярность в
пространстве»
ФИ обучающегося ________________________________________________________________________________________________________
Критерий оценивания Уровень учебных достижений
Низкий Средний Высокий
Применяет свойства
прямоугольного
параллелепипеда при решении
задач
Затрудняется в нахождении
элементов прямоугольного
параллелепипеда
Допускает ошибки в применении
свойств прямоугольного
параллелепипеда/вычислительные
ошибки
Использует свойства
прямоугольного
параллелепипеда и находит
неизвестные элементы
Применяет формулу площади
ортогональной проекции при
решении задач
Затрудняется в применении
формулы площади
ортогональной проекции
Допускает ошибки при применении
формулы площади ортогональной
проекции / вычислительные ошибки
Применяет формулу площади
ортогональной проекции и
находит неизвестные элементы
15
Суммативное оценивание за раздел «Прямоугольная система координат и векторы в
пространстве»
Тема Координаты вектора в пространстве
Сложение и вычитание векторов в координатах, умножение
вектора на число в координатах
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Расстояние между двумя точками
Деление отрезка в данном отношении
Координаты середины отрезка
Цель обучения 10.4.12 Уметь находить координаты и длину вектора в
пространстве
10.4.13 Выполнять в координатах сложение, векторов и
умножение вектора на число
10.4.15 Раскладывать вектор по трем некомпланарным
векторам;
10.4.7 Уметь находить расстояние между двумя точками
в пространстве
10.4.9 Знать формулы координат середины отрезка и применять
их при решении задач
10.4.8 Выводить формулы координат точки, делящей отрезок в
заданном отношении и применять их при решении задач
Критерий оценивания Обучающийся
 Находит координаты и длину вектора
 Выполняет действия с векторами в координатах
 Раскладывает вектор по трем некомпланарным векторам
 Решает простейшие задачи в координатах
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Время выполнения 30 минут
Задания
1. Даны точки M(-4; 3; 2) и N(0; 5; -8). Найдите координаты вектора
NM
и его длину.
2. Даны четыре вектора:
) 2 ; 0 ; 3 (  a

,
) 5 ; 2 ; 1 (  k

,
) 1 ; 1 ; 1 ( n

,
) 1 ; 4 ; 8 ( d

. Найдите
координаты вектора
. 6 5 d n k a e



 
    
3. Даны три некомпланарных вектора:
) 3 ; 2 ; 7 ( ); 1 ; 1 ; 0 ( ) 1 ; 2 ; 3 (   c b а
. Разложите вектор
16
) 7 ; 1 ; 2 ( d
по данным векторам.
4. Даны вершины треугольника
ABC 
:
(1;2;3) A
,
(4; 10;7) B 
,
(3; 1;9) C 
.
i) Найдите координаты середины отрезка ВС.
ii) Найдите длину медианы, проведенной из вершины
A
.
5. Даны точки
) 0 ; 4 ; 2 ( ); 4 ; 3 ; 2 (     В А
. Найдите координаты точки М, принадлежащей
отрезку АВ, если известно, что
2 : 4 :  ВМ АМ
.
17
Критерий оценивания №
Дескриптор
Балл
Обучающийся
Находит координаты и
длину вектора
1
находит координаты вектора; 1
вычисляет длину вектора; 1
Выполняет действия с
векторами в
координатах
2
выполняет умножение вектора на число; 1
выполняет сложение и вычитание векторов; 1
вычисляет координаты вектора; 1
Раскладывает вектор по
трем некомпланарным
векторам
3 составляет систему разложения векторов; 1
рассчитывает коэффициенты разложения; 1
записывает искомый вектор в виде суммы
векторов;
1
Решает простейшие
задачи в координатах
4(ii)
использует формулу расстояния между двумя
точками;
1
вычисляет расстояние (длину медианы); 1
4 (i)
использует формулу нахождения середины
отрезка;
1
находит координаты середины отрезка; 1
5
вычисляет коэффициент; 1
использует формулы расчета координат точки;
1
вычисляет координаты точки. 1
Итого: 15
18
Рубрика для предоставления информации родителям по итогам суммативного оценивания за раздел «Прямоугольная система
координат и векторы в пространстве»
ФИ обучающегося ________________________________________________________________________________________________________
Критерий оценивания Уровень учебных достижений
Низкий Средний Высокий
Находит координаты и
длину вектора
Затрудняется в нахождении
координат вектора и длины
вектора
Допускает ошибки при применении
формулы нахождения координат
вектора/ формулы длины вектора,
вычислительные ошибки
Вычисляет координаты вектора и
длину вектора
Выполняет действия с
векторами в координатах
Затрудняется в выполнении
действий с векторами
Допускает ошибки при выполнении
сложения/вычитания/умножения
вектора на число в координатах
Выполняет действия с
векторами
Раскладывает вектор по
трем некомпланарным
векторам
Затрудняется в разложении
вектора по трем
некомпланарным векторам
Допускает ошибки при составлении
системы/вычислительные ошибки
Выполняет разложение вектора
вектор по трем некомпланарным
векторам
Решает простейшие задачи в
координатах
Затрудняется в определении
расстояния между двумя
точками в пространстве,
координат середины отрезка в
пространстве,
в определении координат
точки, делящей отрезок в
заданном отношении
Допускает ошибки при применении
формулы нахождения расстояния
между двумя точками в
пространстве/координат середины
отрезка в пространстве /координат
точки, делящей отрезок в заданном
отношении/ вычислительные ошибки
Вычисляет расстояние между
двумя точками в пространстве,
координаты середины отрезка в
пространстве.
Находит координаты точки,
делящей отрезок в заданном
отношении.
19
ЗАДАНИЯ ПО СУММАТИВНОМУ ОЦЕНИВАНИЮ ЗА 4 ЧЕТВЕРТЬ
Суммативное оценивание за раздел «Прямоугольная система координат и векторы в
пространстве»
Тема Скалярное произведение векторов
Уравнение сферы
Уравнение плоскости
Уравнение прямой в пространстве
Цель обучения 10.4.16 Знать формулу скалярного произведения векторов
в
координатной форме и применять её при решении
задач
10.4.10 Знать уравнение сферы и применять его при
решении задач
10.4.19 Выводить общее уравнение плоскости
(ax+by+cz+d = 0) через вектор нормали
) ; ; ( c b a n
и
точку, лежащую на этой плоскости
10.4.22 Составлять уравнение прямой, проходящей через
две заданные точки
Критерий оценивания Обучающийся
 Применяет формулу скалярного произведения
векторов при решении задач
 Применяет уравнение сферы при решении задач
 Записывает общее уравнение плоскости через
вектор нормали и точку, лежащую на плоскости
 Составляет общее уравнение прямой через две
заданные точки
Уровень мыслительных
навыков
Применение
Время выполнения 20 минут
Задание
1. Даны точки
(1;3;0) A
,
(2;3; 1) B 
,
(1;2; 1) C 
. Вычислите угол между векторами
CA
и
CB
.
2. Сфера задана уравнением
2 2 2
2 4 4 x y z y z     
.
Найдите значение m, при котором точки
(0; ;2) Am
и
(1;1; 2) Bm
принадлежат данной
сфере.
3. Точка А (-4; 5; 2) принадлежит плоскости

. Вектор нормали этой плоскости
) 1 ; 2 ; 3 ( n
.
Запишите общее уранвение плоскости

.
4. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точки А (-2; 0; 2) и В (4; 1; 2).
20
Критерий оценивания №
Дескриптор
Балл
Обучающийся
Применяет формулу
скалярного произведения
векторов в координатах
1
находит координаты векторов; 1
вычисляет длины векторов; 1
вычисляет скалярное произведение
векторов в координатной форме;
1
использует формулу нахождения
косинуса угла между векторами;
1
вычисляет угол между векторами; 1
Применяет уравнение сферы
при решении задач
2
выделяет полный квадрат; 1
записывает координаты центра сферы;
1
находит радиус сферы;
Записывает общее уравнение
плоскости через вектор
нормали и точку, лежащую на
плоскости
3
подставляет данные в уравнение
плоскости;
1
записывает уравнение плоскости в общем
виде;
1
Составляет общее уравнение
прямой через две заданные
точки
4
подставляет данные в уравнение прямой,
проходящей через две точки;
1
записывает уравнение прямой в общем
виде.
1
Итого:
15
21
Рубрика для предоставления информации родителям по итогам суммативного оценивания за раздел
«Прямоугольная система координат и векторы в пространстве»
ФИ обучающегося ________________________________________________________________________________________________________
Критерий оценивания Уровень учебных достижений
Низкий Средний Высокий
Применяет формулу
скалярного произведения
векторов в координатах
Затрудняется при применении
формулы скалярного
произведения векторов в
координатах
Допускает ошибки в применении
формулы скалярного произведения
векторов в координатах/
вычислительные ошибки
Применяет формулу скалярного
произведения векторов в
координатах
Применяет уравнение сферы
при решении задач
Затрудняется при приведении
выражения к общему виду
уравнения сферы
Допускает ошибки при выделении
полного квадрата/ определении
координат центра, радиуса сферы/
вычислительные ошибки
Применяет уравнение сферы при
решении задач
Записывает общее уравнение
плоскости через вектор
нормали и точку, лежащую на
плоскости
Затрудняется при записи
уравнения плоскости через
вектор нормали и точку,
лежащую на плоскости
Подставляет данные в уравнение
плоскости, однако допускает ошибки
при приведении к общему виду
Записывает уравнение плоскости
в общем виде
Составляет общее уравнение
прямой через две заданные
точки
Затрудняется при записи
уравнения прямой через две
заданные точки
Подставляет данные в уравнение
прямой, однако допускает ошибки
при приведении к общему виду
Записывает уравнение прямой в
общем виде